《打開魔數箱：《科學美國人》魔數師帶你進入數學的奇幻世界》

數學的趣味／胡守仁

　　當你在玩井字棋時，是會選擇先下還是後下？是否能找到個必勝的策略？可知道當你在計算機鍵入12345679（注意中間沒有8這個數字）後，乘上從1到9中選出的一個數字（稱它為A），接著再乘上9，結果會是AAAAAAAAA。神奇吧！你又知道是否有什麼辦法可以把一個正方形切割成三個相似但不全等的部分？這些題目看起來很有意思，像是足以自娛娛人的遊戲，和我們平常在學校所學的那些正經八百數學大大不同。

　　本書作者葛登能先生(1914.10.21- )一直以來就致力於把正經八百的數學說得饒富趣味。他自一九五六年十二月在《科學美國人》（Scientific American）開始了「數學遊戲」專欄，以其獨特的風格談論數學，試圖讓更多人覺得數學真是有趣。本書所蒐集的大多是他一九八二年自《科學美國人》專欄退休後所撰寫的論文及書評，這些文章中談到的數學涵蓋內容十分廣泛，包括數的基本性質，數論，圖論，幾何圖形的分解與組成、機率問題等。還有以撲克牌、西洋棋及英文字玩出的遊戲，以及他對電腦智能，數學教育的看法。

葛登能先生並未受過高深的數學專業訓練，一九三六年於芝加哥大學取得學士學位，主修哲學，之後並未深造。他自稱是名自由作家，著作超過65冊，題材涵蓋數學、科學、哲學、文學評論、小說等，其中《科學美國人》專欄文章收集而成的選集有十五冊。他是位雜耍高手，一直對魔術有極大興趣，不管是與數學有關，還是只靠一雙巧手或者利用精巧的機關，因此對許多自稱的超自然能力都嗤之以鼻。對科學哲學、科學教育與發展等方面，他都有強烈的看法，對於偽科學的抨擊更是不遺餘力。

　　本書涵蓋的題材主要是葛登能稱之為趣味數學、娛樂數學的素材。其實趣味數學和正經數學之間並沒有清楚的界限，就好像職業高爾夫球手看待打高爾夫一樣，有創意的數學家也把自己的工作看成是一種玩樂。一般而言，如果數學中帶有濃厚的玩樂性質，其問題的敘述簡單易明，使得對數學有興趣的門外漢也能樂在其中的話，那就可說是富有趣味了。這些帶有玩樂性質的數學可以不同形式出現，包括魔術把戲、用棋子玩的謎題、移動磚塊、迷宮、分割、鋪磚或其他類型等。大部分數學家都喜歡這類把戲，不過總還是侷限在某些範圍內。畢竟，數學或因應實際需要，或純粹由於人類的心智活動，長久發展以來，牽涉範圍與複雜程度已難以盡述。許多看似娛樂的數學，並不只在博取偶而的歡樂，卻牽涉深奧的理論。我們常見到一種連點的遊戲，要求畫個路徑穿過每個點恰巧一次，這可是圖論和演算法中的大問題呢。又如由井字棋的玩法，我們豈能不想到其他棋局是否也有必勝策略，這可就是賽局論研究的題材了。無可否認娛樂數學中有種迷人的成分，使有些人不禁上癮。但如果只是考慮數字迷人的奇妙現象，幾何圖形捉磨不定的變化，始終是無法在數學領域中登堂入室的。如果你有這樣的心智和興趣，好好享受趣味數學和數學遊戲；讓數學遊戲給你帶來偶爾的歡樂，更讓它激勵你對真正科學與數學的興趣，數學的王國中可到處是寶呢。

　　雖然有些趣味數學連對數學有興趣的門外漢也能樂在其中，但絕非只是初等數學。葛登能的專欄所以能歷久不衰，一個重要原因是專欄中的數學有一定的深度和創新之處。正如他自己所說他在專欄的寫作過程中學了不少數學知識，也從專業數學家那裡，榨出許多真正的數學。許多出現在他早期專欄中的讀者名字，後來也揚名數學界。數學的誘人之處，就在於絞盡腦汁之樂，有時候想破頭仍束手無策，有時候卻又豁然開朗。

　　數學中既然隱藏著許多樂趣，在教授或學習數學時，許多基本概念豈不可以藉由趣味遊戲的方式引入。就好像我們都得學什麼是質數、如何去做因數分解，聽起來這可是個枯燥無味的題材，但試試在計算機鍵入重複的三位數字ABCABC，例如237237，在除以13、11和7之後，原來的237竟又出現了！這個把戲可是屢試不爽的，奇妙吧，可想明白其中的玄妙嗎？看來質數，因數分解也都挺有趣味的。

　　葛登能認為要使學生不覺得數學課沉悶的方法，就是引入具有娛樂性且令他們感覺有趣的題材，這些材料包括上述的各種遊戲、謎題、魔術等。例如，給每個孩子一張西洋棋盤，請學生找出每個人都剪去對角兩格後，剩下的六十二格是否可用三十一張骨牌填滿。在有一組發現這是不可能之後，就要來看看需經過多久時間才有人發現用奇偶性可以漂亮地證明其不可能性。

　　而像是撲克牌、骨牌、西洋棋等我們所熟悉的遊戲，其實在在都與數學息息相關，可以用來作為許多數學概念的模型，這類問題在趣味數學中可是非常活躍的題材。即使是神秘得令人讚嘆的魔術把戲（參閱第三十二章），也是運用數學原理而成就的。

　　有些數學遊戲看似自娛娛人的把戲，其實大有來頭。例如，把所有十六張的A、K、Q、J排成正方形，使得面值相同或花色相同的牌不會同時出現在同一行、同一列或同一對角線上。你恐怕認為這不過是用來拿來打發時間，為難別人的遊戲，其實在生物學、醫學、社會學中設計實驗時亦用到了相同的原理。數學課中適時穿插這類趣味與實用的交織也未嘗不是活化課堂的美事。

　　數學中有太多的題材足以輕易就把人給吸引過去了。例如幻方，可說是人類把玩數字的一種藝術，最早的例子就是中國的洛書。這種由1到9組成的3’3幻方，《射鵰英雄傳》中瑛姑百思才得其解，雖然數學家無法如黃蓉般編得出順口的口訣，倒也能利用幻方的代數結構，根據給定的條件來建構各種神奇的幻方，例如由奇數組成的幻方、偶數組成的幻方、質數組成的幻方等等。歐勒倫蕭女士（Dame Kathleen Ollerenshaw）還在八十五歲高齡時解決了幻方問題中的一個難題，她首創一個方法來建構n’n的最完全幻方，並以公式計算這種幻方的數目。這類幻方可以像壁紙般像四面八方延伸，而使任何n’n方陣仍然是一個幻方。

　　數學課既是學生們從小到大逃脫不了的一堂課，對於數學教材與教學，不管是社會大眾或是數學工作者似乎永遠無法感到滿意。每過一段時間，總要嘗試在某些方面做出某些改變，有時候規模小些，有時候則如天翻地覆。其原因除了因應時代的變遷(例如電腦的發展)，題材不得不有所改變外，主要也是因為學數學的人總不覺得學得有趣，而教數學者也為無法令人覺得有趣而苦惱。數學學不來，連帶覺得自己矮了一截，數學教不會，挫折感揮之不去。六十年代，我們曾經試圖把數學的根本教給學生，採行了「新數學」，在一開始就想告訴學生數學基礎根源是什麼，結果卻使數學更像這個世界之外的龐然怪物，令學生、家長以及基層教學人員感到既困惑又挫折；在學生、老師掙扎於7與7個蘋果大大不同時，「新數學」的教材失敗了。

　　之後，數學回歸為強調運算技巧，反覆練習，在升學競爭激烈的地區，有些學生把數學也當成了「背多分」。然而不管數學強調的是概念上的理解或是運算技巧的熟練，數學教材和教法一向給人的感覺就是與生活脫節，與經驗無關。美國加州在前幾年曾推行過所謂的「新新數學」，這種「新新數學」在題材上引入族群平等、性別平等、生態平衡等社會觀念，在教學上也強調減少學生的被動聽課。教師不用再扮演「舞台上的聖者」，只是「從旁輔導」。方法是將班上學生分成小組形式，讓學生以合作的方式從試驗及錯誤中找出「未知答案」問題的解答，也就是稱之為「互動學習」的方式，學生藉由這種方式「建構」出自己的數學知識(聽起來很像這些年來推行的「建構數學」)。這一切聽起來似乎都相當動人，原來數學終究與生活相關，學生終究可以由自行發現的樂趣中學習，而找到正確答案並不比根據觀察而得到的粗略猜測重要。例如，傳統上老師在教畢氏定理時，會在黑板上畫一個直角三角形，然後在其邊上加個正方形，接著解釋、甚至證明最大正方形的面積恰恰等於兩個較小正方形的面積和。從「新新數學」的角度，這是個糟糕透頂的方法，適當的做法是讓學生透過剪紙自行發現這個定理，一個小組恐怕得花上幾天時間才能「建構」出畢氏定理(或根本建構不出)。對於這種「建構式」的教學方式，葛登能大為抨擊，他認為，這種方式可能比叫學生聽老師解釋定理還令他們更覺得沉悶。他認為數學的實質內容仍是數學課的重點，課堂的時間非常寶貴，他無法相信青少年在與剪紙奮戰數日以求發現畢氏定理後，會比聽了好老師在黑板上的解釋後記得更牢，還不如讓老師有時間去解釋這個定理其實不只是對正方形面積成立，也可以應用在其他相似形狀上，而家庭作業則可以讓學生去找出畢氏定理數百個證明中的一個。其實，任何數學教育上的變革都不應該忽略學生的基本概念和運算技巧，畢竟，數學教育的目標終歸在於讓學生掌握基本的數學概念與技巧，以取得心智上必須的訓練，以及生活上、學習上必須的工具。不管用哪一種方式總不能犧牲這個目標，而不管是把數學概念有趣的引導給學生，或引導學生建構自己的數學知識，都必須依賴具備足夠專業訓練數學教師(葛登能舉了兩個相當可怕的例子，想來不會發生在此地)，只有數學教師有足夠的專業訓練，才能體會數學的趣味，理解數學概念是能夠有趣的傳播出去的，也才會投入發掘有趣的相關遊戲，才能在學生的建構過程中適時介入。教育工作本就是嘔心嚦血的工作，葛登能說他們那個國家除非能有機制吸引有專業肯投入的數學教師，數學教育始終會是個問題，那我們呢？

　　葛登能對於電腦能否取代人腦也有相當強烈的看法，他用了兩章篇幅討論這個問題。雖然IBM的下棋電腦深藍在六局比賽中擊敗了俄國棋手卡斯帕洛夫，但他認為這並不代表電腦就將具備超越人類的智力。電腦雖已通過西洋棋的涂林試驗，也就是一個西洋棋大師並無法分辨他的對手是真人還是電腦程式，但是這項成就和人類智慧的複雜性是全然不同的。因為深藍並不知道它在下棋，就像吸塵器不知道它在吸塵一般。電腦只不過盲目地根據軟體所給出的句法規則把弄符號，但是我們的心智不只把弄符號，還把弄符號的意義。我們的心智或許來自一種分子的複雜模式，但腦子的複雜度高到我們現在尚無法了解它是如何產生自我意識及自由意志。電腦靠著線路及開關，根據軟體的演算程式將電流在網路中傳動，是不可能跨越產生意識的門檻而出現任何類似人腦的東西。由深藍的線路到老鼠的心靈間，其距離豈止千里。

　　書中還提出幾篇書評，其中他介紹了一位數學家，談到了無限的概念與對數學壯觀的威力與美麗的讚歌。評論的書中有兩本已有中譯本，一本是令孩子愛上數學的《數學小精靈》（The Number Devil），另一本則是有關外星人存在的《機率一》（Probability 1）。

　　本書各章中所談到的數學粗略分來屬於幾何問題的有第一、十五、十九、二十八、二十九及三十三章；關於幾何圖形的分割及組合的有第七、八、十六、二十各章(包括各種多方格塊問題)；有關數的基本性質的有第二、五、十、十一、二十一、三十、三十一章，第二十四章則屬較深的數論；此外，第三及二十六章屬賽局論，第四章為邏輯方面的探討，第六章為圖論，十七章屬機率問題，二十一、二十三及二十五章則討論各式幻方。還有第九章為電腦把戲，十四、三十四章為西洋棋遊戲，三十二章專講撲克牌把戲，第十八章則為英文字的遊戲。而二十七章則為葛登能對當時娛樂數學的回顧。

　　最後，應該提醒讀者本書收錄的文章中有些完稿時間較早，所提問題經過這些年的發展，現況有所改變，文中資訊或已不符實情，讀者當可以收尋引擎鍵入關鍵字詞上網搜尋即時資料。另外，他書中提及的某些遊戲雖未廣為發行，亦可於網上搜尋玩法等資料。而書中有部分文章應屬數學專業論文範疇，讀者於閱讀時需自行斟酌，若不執著於要看懂證明，仍能享受題材本身所帶來的趣味。

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