對數學家而言，
維度指的是一種「自由度」，
也就是在空間中運動的獨立程度。
在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，
只要沒有碰到障礙，
它就擁有三個自由度。
但維度是不是就只有那麼多？
望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認了一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的最佳證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神祕、看不見的形式存在，稱為「暗能」（dark energy），其餘大部分則是「暗質」（dark matter）*，再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，只佔百分之四。而且物如其名，暗能和暗質在各方面都是「暗的」：既看不見，也難以測度。
我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成了一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為「哈伯體」（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍只有如此而已。根據目前所得的最佳數據，宇宙似乎是無窮延伸的──不管我們向哪個方向看去，如果你畫一條直線，真的可以從這裡一直延伸到永恆。
不過，宇宙仍有可能是彎曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也會非常微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少還有上千個哈伯體。
最近發射的普朗克太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙中可能存在著至少一百萬個哈伯體，而我們所在的哈伯體只是其中之一而已。我相信天文物理學家的這一說法，也瞭解有些人可能會對上面引述的數字有不同意見，但無論如何，有件事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。
而在另一個極端，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的面貌，顯現了人類原先無法觸及的世界，像是細胞、分子、原子，以及更小的物體。如今我們不再對這一切感到訝異，完全可以期待望遠鏡會向宇宙的更深處探索。另一方面，顯微鏡和其他儀器則會把更多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。
最近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來了一些更令人驚訝的觀點：宇宙不止超出我們所能看見的範圍，而且可能還有更多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。
當然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個世界，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺就知道，是從開始探索世界時就知道的，那就是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰就是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，只是也許，會不會還有其他維度的空間存在，只不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且儘管它很小，卻可能扮演非常重要的角色，只是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷了！
這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的歷史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺就不管用了。如果運動速度非常快，狹義相對論告訴我們，時間就會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得非常非常小，根據量子力學，我們就無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後面，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有絕對的位置，有時它甚至可能同時出現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能就是怪事之一。
如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處捲摺在宇宙側邊之外的地域，超出我們的感官知覺，而這會在兩方面具有革命意義：單僅是更多維度的存在──這已經是科幻小說一百多年來的註冊商標──這件事本身就夠令人驚訝，足以列入物理學史上的最重大發現了。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這就好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直向度，而能把戰場上的局勢看得更清楚。當從更高維的視點觀看時，我們的物理定律也可能變得更明晰，因而也更容易理解。
從蒼蠅的世界看維度的意義
我們都很熟悉三個基本方向上的移動：東西、南北、上下。（或者也可以說是左右、前後、上下。）不管我們去哪裡──不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地──我們的運動都是這三個獨立方向的某種基本組合。我們對這三個維度太過熟悉，以致於要設想另一個維度，並且指明它確切指向哪裡，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩千多年前，亞里士多德在《論天》（On the Heavens）中就論稱：「可在一個方向上分割的量，稱為線；如果可在兩個方向，稱為面；如果可在三個方向，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度只有三個。」西元150年時，天文學家暨數學家托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫出四條相互垂直的直線。他主張，第四條垂直線「根本無法量度，也無法描述。」然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映了人們沒有能力看到並描繪四維空間的事實。
對數學家而言，維度指的是一種「自由度」（degree of freedom），也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一座停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這隻蒼蠅只有零個自由度，實質上被限制在單一點上，亦即身處於一個零維的世界。但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油掙脫出來，只可惜不幸翅膀受了點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地面上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生鏽排氣管，蒼蠅此時只有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維、亦即線狀的世界。
但維度是不是就只有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裡──這是否就涵括了一切可能性？亞里士多德或托勒密應該會回答「是」，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學家來說，故事並沒有就此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由只停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是曲率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到n維來理解它（其中n可以是非常大的數）。如果只停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力更大，也可能更基本。
甚至即使你所要對付的問題僅限於二或三維，也可能藉由在各種維度中研究該問題而得到有利的線索。再回到我們那隻在三維空間裡嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方向移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裡自由移動；它同樣也有三個自由度，整個系統就突然從三維變成六維的系統，具有六個獨立的移動方向。隨著更多的蒼蠅在空間裡穿梭，每一隻都獨立飛行而不與他者相關，那麼系統的複雜度及其維度，也隨之增加。
窺探更高的維度
研究高維度系統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裡看出的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方向流動（例如全部從西流向東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維曲面，但我們只有從更高維的系統觀察，也就是考慮水分子在曲面上所有可能運動的情況，才能導出這個規則。這是為何我們不斷向更高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方向並學習到什麼。
很自然的，考慮更高維度的結果之一是更大的複雜度。例如所謂「拓樸學」（Topology）是一門將物體依最廣義的形狀加以分類的學問。根據拓樸學，一維空間只有兩種：直線（或兩端無端點的曲線）和圓圈（沒有端點的封閉曲線），此外再無其他可能性。你或許會說，線也可以是彎彎曲曲的，或者封閉曲線也可能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓樸學的範疇。說到幾何學和拓樸學的差別，前者就像拿著放大鏡研究地球表面，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。選擇何者，端視底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地表上的每一峰稜、起伏和溝壑？抑或只要大致的全貌（「一個巨大圓球」）便已足夠？幾何學家所關切的通常是物體精確的形狀和曲率，而拓樸學家只在乎整體形貌。就這層意義而言，拓樸學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰成為明顯對比，因為後者的進展，通常是藉由把複雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。
也許你會問：這些和維度的討論有何關係？如上所述，拓樸學中只有兩種基本的一維圖形，但直線和歪歪扭扭的線是「相同」的，正圓也和任何你想像得出的「迴圈」，不論是彎的、多邊形、長方形、乃至於正方形都是相同的。
二維空間同樣也只有兩種基本形態：不是球面就是甜甜圈面。拓樸學家把任何沒有洞的二維曲面都視為球面，這包括常見的幾何形體，像是立方體、角柱、角錐的表面，甚至形狀像西瓜的橢球面。在此，一切的差別就在於甜甜圈有洞，而球面沒有：無論你怎樣把球面扭曲變形（當然不包括在它中間剪洞），都不可能弄出一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓樸型態，你就無法在它上面產生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體藉由擠壓或拉扯、但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓樸學家就把這兩個形體看成是相同的。
只有一個洞的甜甜圈，術語稱為「環面」（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。「緊緻」（compact，封閉且範圍有限）且「可賦向」（orientable，有內外兩面）的二維曲面可以依洞的數目來分類，這個數目稱為「虧格」（genus）。外觀迥異的二維物體，如果虧格相同，在拓樸上被視為是相同的。
先前提到二維形體只有球面與洞數不同的甜甜圈面兩大類，這只有在可賦向曲面的情況才成立，本書所討論的通常都是可賦向曲面。比方說，海灘球有兩個面，即裡面和外面，輪胎的內胎也有兩個面。然而，對於比較複雜的情況，例如單面或「不可賦向」的曲面如「克萊因瓶」（Klein bottle）和「莫比烏斯帶」（Mobius strip），上述說法並不成立。
如果是三維以上，可能的形體數就會急遽增加。當考慮高維空間時，必須容許我們往難以想像的方向移動。在此所指的可不是介於向北和向西之間的西北方，或是「北西北」的這類方向，而是完全跑出三維網格之外，這個方向落在一個我們還沒畫出的坐標系裡面。
愛因斯坦的四維時空理論
描繪高維空間的早期重大突破之一來自笛卡兒（Rene Descartes）。這位十七世紀的法國鴻儒身兼數學家、哲學家、科學家和作家等多重身分，但對我而言，他在幾何學方面的成就，意義特別重大。笛卡兒的貢獻之一，是教導我們：如果用坐標取代用圖形來進行思考，將有非常非常大的效用。他所發明的坐標系現今稱為笛卡兒坐標或直角坐標，統合了代數和幾何。狹義來說，笛卡兒指出一旦定出交於一點且彼此垂直的x, y, z軸，三維空間中的任一點只需要三個數字（x , y , z坐標）就可以明確標定。但他的貢獻遠遠不止於此，他這神妙一筆，大幅拓展了幾何學的視界。因為有了坐標系之後，我們就可以用代數方程式來描述不易形象化的複雜高維幾何形體。
使用這個方法，你可以思考任何想要的維度，不只是（x , y , z），還可以是（a, b, c, d, e, f）或是（j, k, l, m, n, o, p, q, r, s）。所謂空間的維數，就是決定此空間中任一點的位置時所需要的坐標數目。藉由這種系統，我們可以思考任何維數的高維空間，進行與其相關的各種計算，不再擔心如何描繪這些空間的問題。
兩個世紀之後，德國大數學家黎曼（Georg Friedrich Bernard Riemann）以此為出發點，大幅拓展了幾何學的領域。黎曼在1850年代研究彎曲空間的幾何（稱為「非歐幾里得幾何」，這個主題將在下一章繼續討論），瞭解到這些空間並不需要受限於維數。他展示了如何在這些空間上，精確計算距離、曲率和其他性質。
1854年，黎曼在他的就職演講裡，講述了日後被稱為黎曼幾何的幾何原理，並且猜度了宇宙本身的維度性和幾何性質。當時年僅二十多歲的黎曼，也正在發展一門數學理論，試圖把電、磁、光和重力整合在一起，因而預見了一項科學家持續鑽研至今的研究目標。雖然黎曼把空間從歐氏幾何的平坦性和三維的限制中釋放出來，數十年之內，物理學家對這想法並沒有太多反應。他們之所以缺乏興趣，或許是源自於缺乏暗示空間是彎曲的或者空間不止三維的實驗證據所導致。結果就是，黎曼先進的數學根本超越了當時的物理學。結果，至少還要再等大約五十年，物理學家或者至少某位特定的物理學家出現之後才追上。這位物理學家，就是愛因斯坦（Albert Einstein）。
或許你已經知道，愛因斯坦的狹義相對論發表於1905年，日後他繼續研究，最終完成了廣義相對論。當愛因斯坦發展狹義相對論的時候，他援引了一個同樣正由德國數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski）所探討的想法，亦即，時間與三維空間不可分離地糾纏在一起，形成一個稱為「時空」（spacetime）的新幾何構造。在這個出人意料的轉折裡，時間本身被視為第四維，而數十年前黎曼就已經將它結合進他優雅的方程式裡。
有趣的是，英國作家威爾斯（H.G. Wells）在此之前十年寫下的小說《時間機器》（The Time Machine），即已預見相同的結果。誠如小說主角「時間旅人」所解釋：「維度其實有四個，其中三個是我們稱為空間的三個平面，第四個是時間。然而，人們卻總傾向於要把前三維和第四維強加以虛假的區分。」閔可夫斯基在1908年的一場演講裡，說了幾乎相同的話，差別只在於，他用數學來支持這個看似荒唐的主張：「如此一來，單獨的空間和單獨的時間註定要化為幽影，唯有兩者的結合方能保存一種獨立的實在性。」將這兩種概念加以結合的理論基礎，在於物體的運動不僅穿越空間，而且也穿越時間。所以若要描述四維時空（x, y, z, t）中的事件，我們需要四個坐標：三個空間坐標和一個時間坐標。
雖然這想法看似有點艱深，但其實可以用極平常的形式來表達。假設你和某人約好在購物中心見面，你會先記下那棟建築物的位置，比方說第一街和第二大道的交叉口，然後約好在三樓見面。如此就定出了x, y, z坐標。唯一剩下的就是敲定時間，也就是第四坐標。一旦指明這四項資訊，除非發生不可預期的意外，否則你的約會就確定了。但如果要採用愛因斯坦的說法來表示，你不能把這次約會看成是先決定地點，再決定時間。你們真正決定的，是這個約會事件在時空中的位置。
所以在二十世紀初，我們的空間概念從自古以來一直撫育人類的三維安適小窩，一舉躍升為玄奧隱晦的四維時空。此一時空概念構成了愛因斯坦隨即奠立的重力理論，也就是廣義相對論的基礎。但就像我們問過的：事情就到此為止嗎？是否一切就停在四維，還是我們的時空觀念可以再繼續成長？1919年，一個可能的答案意外的以論文初稿的形式送給愛因斯坦審閱，論文作者是當時名不見經傳的德國數學家卡魯札（Theodor Kaluza）。
卡魯札的五維時空
愛因斯坦的理論要用到十個數字（亦即十個「場」）來準確描述重力在四維時空中的運作。最簡潔的表示法是把這十個數排列成一個4×4的矩陣，術語稱之為「度量張量」（metric tensor）。這張正方形的數字表，你可以把它看成高維度的尺規。在此，度量張量本來共有16個分量，但因為對稱性的原因，因此只有10個是獨立的。（其中矩陣對角線上有4個分量，對角線兩側各有6個分量，但是沿對角線對稱的分量必須相等。）有六個數重複是因為重力和其他基本作用力一樣，本質上是對稱的。
在他的論文裡，卡魯札基本上採納了愛因斯坦的廣義相對論，並再加入一個維度，將4×4的矩陣擴充為5×5。藉由把時空擴充到第五維，卡魯札可以把當時已知的兩種作用力——重力和電磁力——結合成單一而統一的作用力。對於身處於卡魯札所構想的五維世界的觀察者而言，這兩種力其實是同一個作用力，這正是我們稱之為「統一」的原因。但在四維空間裡，這兩種作用力無法合在一起，它們看起來像是完全獨立的。你可以說，造成這情形的原因只是因為我們不能把這兩種力放進同一個4×4矩陣裡。然而，多加入的一個維度給予它們充分的餘裕，得以並存在同一個矩陣中，因而成為一個包容更廣的作用力的一部分。
這麼說或許會惹來非議：但我相信，針對一直以低維架構來觀察的現象，只有數學家能果敢的藉由高維空間來提供特殊的洞察力。我會這麼說，是因為數學家總是在處理更多的維度。我們對這個觀念習慣得可以不假思索，甚至可以在睡夢中操作這些多出來的維度，絲毫不受干擾。
然而，即使我認為唯有數學家才能達成這種突破，但在卡魯札這個特別的例子裡，這位數學家的工作卻是以物理學家的研究、也就是愛因斯坦的成果為基礎。（不過接下來，另一位物理學家克萊因的研究，則又建立在數學家卡魯札的基礎上；這段發展下面很快會交代。）這就是為甚麼我喜歡處身在數學和物理這兩個領域的交界地帶，因為在此會獲得許多有趣的相互啟發。我從1970年代就在這片肥沃的區域徜徉，也因此獲益於許多引人入勝的發展。
再回到卡魯札極具啟發性的想法。有個令當時的人困惑的問題，迄今依然存在，這問題無疑是卡魯札努力想解決的：如果真的有第五維，一個我們熟悉的四維世界上任何一點都可以在其上移動的全新方向，為什麼從來沒人察覺到呢？
最顯然的解釋是，這個維度極其微小。但它會在哪兒呢？一個體會第五維的方法，是把我們的四維宇宙假想成一條無止盡往兩端延伸的直線。在此的想法是，三個空間維度要不是極其廣闊，就是無限龐大。我們同樣也假定時間可以對應到一條無窮的直線（這或許是可以質疑的假定）。不管怎樣，這條線上的每一點w實際上代表了四維時空上的特定一點（x, y, z , t）。在幾何學裡，直線通常只有長度，沒有寬度。但在此，我們容許用倍數很高的放大鏡觀察這條線時，可能有點寬度。如此一來，我們的直線並不真的只是條線而已，反而像是極其纖細的圓柱，或者借用最常用的比喻，像是一條「橡皮水管」。現在，如果我們把水管在w點切開，其剖面會是一個很小的圓圈，也就是一條一維曲線。因此這個圓圈表示了額外的第五維，而且可以被想成是「繫附」在四維時空的每一點上。
具有這種特徵（捲曲成一個小圓）的維度空間，正如之前提到過的，術語稱之為緊緻的。緊緻一詞可以有很直覺的定義，物理學家有時會說「緊緻的物體或空間就是可以塞進汽車行李箱裡的東西」。但它也有更精確的定義：如果你沿著任一方向走得夠久，就一定可以回到出發點或出發點附近。卡魯札的五維時空同時包括了擴張的（無窮的）和緊緻的（有限的）維度。但如果這幅景象是正確的，我們為何沒發覺自己在這第五維度裡轉圈圈呢？瑞典物理學家克萊因（Oscar Klein）繼續發展卡魯札的想法，在1926年給出了答案。克萊因援引量子理論，實際去計算緊緻維度的大小，得到了一個確實很小的數值：圓周長大約是10-30公分，接近所謂的「普朗克長度」，差不多是長度的最小極限了。克萊因說，這就是第五維如何可以既存在，又永遠不被觀測到的原因了。我們沒有任何可預見的方法來看到這個微小的維度，也無法偵測到其中的運動。這個精彩的理論現在稱為卡魯札-克萊因理論，它指出用額外維度解答大自然奧祕的潛力。愛因斯坦思索卡魯札的原創論文兩年有餘，然後回信說他「無比」喜愛這個想法。事實上，他喜愛到在其後的二十年內，間間斷斷地循著卡魯札-克萊因的思路進行探索（有時是和物理學家柏格曼﹝Peter Bergmann﹞合作研究）。
但是卡魯札-克萊因理論最終還是被放棄了。原因之一是它預測了一種從未被發現的粒子，另一個原因是，根據此理論所計算出來的電子質量對電荷比，與實際數值誤差很大。非僅如此，因為當時還不知道強、弱作用力（對這兩種力的較佳解釋還得等到二十世紀後半），卡魯札、克萊因以及踵事其後的愛因斯坦，所試圖統一的只有電磁力和重力。所以他們企圖統一所有作用力的努力註定要失敗，因為他們所拿到的那副牌，缺少了好幾張重要的王牌。但或許卡魯札-克萊因理論被棄之不顧的最大原因是時機，它被引入的時間，正是量子革命開始鞏固地位之時。簡單地說，卡魯札和克萊因把幾何學放在他們的物理模型的核心位置，而量子論則不僅不是一門幾何取向的理論，而且還與傳統幾何學直接衝突（詳見第14章）。當量子論在二十世紀以波瀾壯闊之勢橫掃物理學界，接著進入驚人的多產時期時，新維度的想法得要過了將近五十年後，才重新被認真考慮。
弦論的允諾：萬有理論
自從愛因斯坦在1915年發表廣義相對論以來，這個以幾何為基礎並總結我們對重力理解的理論，一直非常成功，並通過了每一項實驗的考驗。另一方面，量子論則優美地描述了三種已知的作用力：電磁力、弱核力和強核力。量子論誠然是我們已有的最準確的理論，而且正如哈佛大學物理學家史聰閔格（Andrew Strominger）所宣稱的，量子論「可能是人類思想史上，最被精確測試過的理論。」舉例來說，關於電子在電場中行為的預測，與實際測量值可以符合到小數點後十位。
不幸的是，這兩個非常穩固的理論卻彼此毫不相容。如果你想結合廣義相對論和量子力學，結果會是一團糟。問題發生在量子世界，在此的物體永遠處於移動或擾動狀態，尺度愈小，擾動就愈大。結果就是在最微小的尺度時，量子力學所描繪的動盪不定的景象，會和廣義相對論賴以建立的時空光滑幾何的景象完全衝突。
事實上，量子力學的一切都是建立在機率上。當把廣義相對論丟進量子模型裡，計算出來的機率常常會是無窮大。而如果在推導過程中蹦出無窮大，通常就表示計算裡遺漏了某樣東西。假如最成功的兩個理論，一個描述星系、行星之類的巨大物體，另一個描述電子、夸克之類的渺小之物，但是一結合起來就產生無意義的結果，這絕對無法令人滿意。把它們隔離開來也不是好辦法，因為在某些地方例如黑洞，最大的和最小的理論會匯聚在一起，而且任一理論都無法單方面給出完滿的解釋。史聰閔格認為：「物理學不應該有許多組定律，物理定律應該只有一組，而且必須是最漂亮的那一組。」
物理學家認為，宇宙可以、而且理應只由一個把所有的自然力交織成整體的「統一場論」（unified field theory）來描述，這種想法既有美學上的吸引力，而且也聯繫到宇宙起源於一場極其熾熱的大霹靂的觀念。在宇宙誕生之初，所有的作用力都同處於一個無法想像的高能階，因此其行為如同單一的作用力。卡魯札、克萊因，還有愛因斯坦沒能建立一個涵括一切所知物理的理論，但我們現在既已掌握更多線索（而且希望所有重要線索都已經到手），疑問依然是：我們是否能再做嘗試，並且在偉大的愛因斯坦失手之處獲得成功？
這正是弦論的允諾。弦論是一個迷人但尚未證明的統一理論，它將粒子物理學的點狀物體，以延展（但仍然很微小）的「弦」來取代。就像之前的卡魯札-克萊因理論，弦論也假定了在我們日常的三（或四）維空間之外還有更多的維度，藉此將幾個自然力統合起來。大多數的弦論都主張總共需要十維或十一維的時空才能達成這種大融合。
但這並非多丟進一些維度再來碰碰運氣的事情。弦論若要有效果，這些維度的空間必須具備某一特定的大小形狀，至於那一種才正確，猶未有定論。換言之，幾何學在弦論中扮演著重要角色。許多弦論的追隨者主張，額外維度的幾何性質大幅決定了我們所在的是怎樣的宇宙，決定了自然界中可見的一切作用力和粒子的性質，甚至還決定了尚不可見的。而因為我們關注的是所謂的「卡拉比-丘流形」（Calibi-Yau manifold），以及它為宇宙的隱藏維度提供幾何基礎的潛在角色，我們將不探討所謂的「迴圈量子重力理論」（loop quantum gravity），它是和弦論競爭的理論，但沒有牽涉到多出的維度，因此並不依賴緊緻的內在幾何空間如卡拉比-丘流形。我們會從第六章開始深入探討弦論的課題。但在我們一頭栽進弦論背後的複雜數學之前，或許先打好幾何學的基礎會比較有用。以我不算客觀的經驗來說，這永遠是有用的策略。所以我們要從二十和二十一世紀後退幾步到更早的時間，重溫這個重要領域的歷史，以領會它在萬物秩序中的位置。
說到位置，我一直覺得幾何學就像是通往真理的快車道。可以這麼說：幾何學是從我們所在之處通往想到達之處的最直接道路。這毫不意外，因為幾何學的主要任務之一，就是找出兩點之間的距離。如果從古希臘數學到精微的弦論之途顯得曲折迂迴，還請讀者諸君稍加忍耐。因為有時候，直線並不是最短的路徑。
讀完這本書，大家將會深刻體認到這一點！
＊譯註：這兩個名詞也有譯為「暗物質」和「暗能量」，但許多物理界的朋友希望使用更簡潔又不失原意的「暗質」和「暗能」。
（取自《丘成桐談空間的內在形狀》第一章）
